Question

6．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（1）a₅²=a₃•a₇是否成立？a₅²=a₁•a₉成立嗎？為什么？
（2）a_n²=a_n-1•a_n+1（n＞1）是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？
（3）a_n²=a_n-k•a_n+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得到什么結(jié)論？

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式逐一驗(yàn)證三個(gè)命題得答案．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∴a₅²=$（{a}_{1}{q}^{4}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，a₃•a₇=$（{a}_{1}{q}^{2}）（{a}_{1}{q}^{6}）$=${{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，則a₅²=a₃•a₇ ．
又${a}_{1}{a}_{9}={a}_{1}•{a}_{1}{q}^{8}$，則a₅²=a₁•a₉ ；
（2）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-1•a_n+1=$（{a}_{1}{q}^{n-2}）（{a}_{1}{q}^{n}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-1•a_n+1．
由此可得：等比數(shù)列中，除首項(xiàng)和末項(xiàng)外，其它任何一項(xiàng)都是與它相鄰兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；
（3）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-k•a_n+k=$（{a}_{1}{q}^{n-k-1}）（{a}_{1}{q}^{n+k-1}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-k•a_n+k ．
由此可得：等比數(shù)列中，除首項(xiàng)和末項(xiàng)外，其它任何一項(xiàng)都是與它等距離兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記以上結(jié)論對(duì)于求解等比數(shù)列問(wèn)題尤為重要，該題是基礎(chǔ)題．