【題目】如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形， ， ， ， ，平面底面，直線與底面所成的角為．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：(1)先結(jié)合勾股定理證明,然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得到再結(jié)合條件利用勾股定理證得,利用線面垂直的判定定理得到平面,進而證得平面 平面；

(2), 分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,由坐標,利用向量法進行求解.

試題解析：

（1）證明：因為， ， ，所以，則．

又因為平面底面，平面平面，所以平面．　

而平面，所以.

于是即為與底面所成的角，即．

因為，所以， ，

由， ，得，解得，

從而，于是，

因為，所以平面．　

而平面，所以平面 平面.

（2）由（1）知、、兩兩垂直，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為， ， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的一個法向量為，則解得

取，則．

設(shè)平面的一個法向量為，則解得

取，則．

令二面角為，顯然為鈍角，則．

所以二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸的一個端點為.過橢圓左頂點的直線與橢圓的另一交點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若與直線交于點，求的值；

（3）若，求直線的傾斜角.

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【題目】下列命題中錯誤的是（ ）

A. 如果平面外的直線不平行于平面，則平面內(nèi)不存在與平行的直線

B. 如果平面平面，平面平面， ，那么直線平面

C. 如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

D. 一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另一個平面相交

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著手機的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.

年齡（單位：歲）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

[65,75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

（Ⅱ）若從年齡在[25,35）和[55,65）的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎勵，求3人中至少有1人年齡在[55,65）的概率.

參考數(shù)據(jù)如下：

附臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

的觀測值： （其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，證明：當時， ；

（Ⅲ）設(shè)是的兩個零點，證明 .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān)，在市第一人民醫(yī)院隨機對入院50人進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

男

20

5

25

女

10

15

25

合計

30

20

50

（1）是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由；

（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3位進行其他方面的排查，其中患胃病的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望.

參考公式： ，其中.

下面的臨界值僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù),且,若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）過原點作曲線的切線，求切線方程；

（Ⅱ）當時，討論曲線與曲線公共點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某知名品牌汽車深受消費者喜愛，但價格昂貴。某汽車經(jīng)銷商推出三種分期付款方式銷售該品牌汽車，并對近期100位采用上述分期付款的客戶進行統(tǒng)計分析，得到如下的柱狀圖。已知從三種分期付款銷售中，該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤分別是1萬元，2萬元，3萬元。以這100 位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應(yīng)分期付款方式的概率。

（Ⅰ）求采用上述分期付款方式銷售此品牌汽車1輛，該汽車經(jīng)銷商從中所獲得的利潤不大于2萬元的概率；

（Ⅱ）求采用上述分期付款方式銷售此品牌汽車1輛，該汽車經(jīng)銷商從中所獲得的利潤的平均值；

（Ⅲ）根據(jù)某稅收規(guī)定，該汽車經(jīng)銷商每月（按30天計）上交稅收的標準如下表：

若該經(jīng)銷商按上述分期付款方式每天平均銷售此品牌汽車3輛，估計其月純收入（純收入=總利潤-上交稅款）的平均值.

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