Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點S（0，）的動直線L交橢圓C于A、B兩點．問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求點T坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，b=1．圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：，當(dāng)L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由，解得兩圓公共點（0，1）．因此所求的點T如果存在，只能是（0，1）．由此能夠?qū)С鲆訟B為直徑的圓恒過點T（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）由消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，
因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，∴△=（2b-4）²-4b²，∴b=1．…（2分）
∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴，…（4分）
故所求橢圓方程為．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：，
當(dāng)L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由
解得，
即兩圓公共點（0，1）因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…（7分）
（�。┊�(dāng)直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線L：y=kx-．
由，消去y得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
記點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則，…（9分）
∵，
∴
=
=
=
=0．
∴TA⊥TB，…（11分）
綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．           …（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．