Question

已知關于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的積化和差公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，需對x=0，x=x₀∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，π），x=

π

2

分類討論，利用正弦函數(shù)的性質作出判斷．

解答：解：①如果x=0是方程的解
則a=0，
∴由sin5x=0，得x=0，

π

5

，

2π

5

，

3π

5

，

4π

5

，是方程的解，
故方程不是唯一解；
②如果x=x₀∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，π）是方程的解，
則sinx₀sin5x₀=a
∴sin（π-x₀）sin5（π-x₀）=a，
即π-x₀也是方程的解
故方程不是唯一解
③當x=

π

2

是方程的解，則a=1，
反之 由sinxsin5x=1，且|sinx|≤1，|sin5x|≤1，x∈[0，π）得

sinx=1 sin5x=1

，解得x=

π

2

．
故a=1方程有唯一解．
綜上所述，a=1．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質應用，突出考查正弦函數(shù)的零點性質及分類討論思想的應用，屬于難題．