Question

設(shè)f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）證明：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)都有f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)有意義則分母2^x-1≠0得其定義域，（2）當(dāng)x＞0時(shí)明顯成立，當(dāng)x＜0時(shí)，先證f（-x）=f（x），函數(shù)為奇函數(shù)，然后由-x＞0轉(zhuǎn)化求解．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，故函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)?^x＞1，顯然f（x）＞0
因?yàn)?span id="wuux09y" class="MathJye">f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)
=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)=x(

1

2x-1

+

1

2

)
=f（x）
所以，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，故f（x）=f（-x）＞0
綜上，f（x）＞0，命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)的定義域及其求法以及利用函數(shù)性質(zhì)求證不等式，難點(diǎn)在證明中利用分類討論和函數(shù)的奇偶性求證．