Question

(本題滿分13分)已知函數，(a、b為常數)．

(1)求函數在點(1，)處的切線方程；

(2)當函數g(x)在x=2處取得極值-2．求函數的解析式；

(3)當時，設，若函數在定義域上存在單調減區(qū)間，求實數b的取值范圍；

Answer 1

（1）切線方程為；（2）g(x)=(x∈R)；（3），)．

【解析】

試題分析：（1）先用導數求出切線的斜率，再由點斜式寫出切線的方程；

（2）因為函數g(x)在x=2處取得極值-2，所以， ，據此列方程組確定的值，從而得到函數的解析式；

（3）“函數在定義域上存在單調減區(qū)間”等價于：“ ”在這義域同解集非空，等價于

于是問題最終轉化為函數的最值問題.

試題解析：【解析】
(1)由()，可得()，∴f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是，即，

所求切線方程為； 4分

(2)∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2．

∴，可得解得，．

所求g(x)=(x∈R) ． 8分

(3)∵，()．

依題存在使，∴即存在使，

∵不等式等價于 (*)

令，∵．

∴在(0，1)上遞減，在[1，)上遞增，故，)

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，)． 13分

考點：1、導數的幾何意義；2、導數在研究函數性質中的應用；3、等價轉化的思想；4、變量分離法求參數的取值范圍問題.