如圖，在四面體A－BCD中，AD^ 平面BCD，BC^ CD，AD＝2，BD＝2．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ＝3QC．

(Ⅰ)證明：PQ∥平面BCD；

(Ⅱ)若二面角C－BM－D的大小為60°，求Ð BDC的大小．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF＝3FC，連接OP，OF，FQ．

　　因為AQ＝3QC，所以

　　QF∥AD，且QF＝AD

　　因為O，P分別為BD，BM的中點，所以OP是△BDM的中位線，所以

　　OP∥DM，且OP＝DM

　　又點M是AD的中點，所以

　　OP∥AD，且OP＝AD

　　從而OP∥FQ，且OP＝FQ

　　所以四邊形OPQF是平行四邊形，故PQ∥OF

　　又PQË 平面BCD，OFÌ 平面BCD，所以

　　PQ∥平面BCD．

　　(Ⅱ)作CG^ BD于點G，作GH^ BM于點HG，連接CH，則CH^ BM，所以Ð CHG為二面角的平面角．設(shè)Ð BDC＝．

　　在Rt△BCD中，

　　CD＝BDcos＝2cos，

　　CG＝CDsin＝2cossin，

　　BG＝BCsin＝2sin2

　　在Rt△BDM中，

　　HG＝＝

　　在Rt△CHG中，

　　tanÐ CHG＝

　　所以tan＝

　　從而＝60°

　　即Ð BDC＝60°．


提示：

本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)
DEDB
=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•許昌三模）如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•許昌三模）如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求作平面α，使EF?α，且AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）求證：EF⊥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是（　�。�
A、[0， 
6
3
]
B、[0， 
3
2
]
C、[0， 
2
2
]
D、[0， 
3
3
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出以下判斷：
（1）b=0是函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充要條件；
（2）橢圓
x2
4
+
y2
3
=1中，以點（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線
y
=
b
x+
a
 必過點(
.
x
，
.
y
)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設(shè)E為△BCD的重心，則
AE
=
AB
+
1
2
AC
+
2
3
AD
；
（5）雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點為F1，F(xiàn)2，P為右支是異于右頂點的任一點，△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為T，則點T的橫坐標(biāo)為a．其中正確命題的序號是
 
．

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同步練習(xí)冊答案