Question

已知拋物線x²=2py（p＞0），過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明：|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．

Answer 1

分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=kx+

p

2

．將它與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出

OA

•

OB

的值；
（II）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率，從而求得切線的方程，最后聯(lián)立直線的方程組成方程組求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（III）欲證明：|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．分別求出左式和右式，看它們是否相等即可．為了求得左右兩式，須結(jié)合（1）中的方程中根與系數(shù)的關(guān)系，以及（2）求得和Q的坐標(biāo)求解即可．

解答：（Ⅰ）解：∵F(0，

p

2

)，
∴設(shè)直線l的方程為y=kx+

p

2

．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）
y1•y2=(kx1+

p

2

)•(kx2+

p

2

)=k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=-k2p2+k2p2+

p2

4

=

p2

4

（4分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

3

4

p2．（5分）
（Ⅱ）解：由x²=2py，可得y=

x2

2p

，
∴y′=

x

p

．
∴拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為

x1

p

，

x2

p

．
∴在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x12

2p

．（7分）
同理在點(diǎn)處B的切線方程為y=

x2

p

x-

x22

2p

．
解方程組

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

可得

x=pk y=- p 2 .

即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-

p

2

．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，Q(pk，-

p

2

)，
∴|

QF

|2=(0-pk)2+(

p

2

+

p

2

)2=(1+k2)p2，（11分）
又y1+y2=kx1+

p

2

+kx2+

p

2

=k(x1+x2)+p=p(1+2k2)，
∴|

AF

|•|

BF

|=(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=y1y2+

p

2

(y1+y2)+

p2

4

=

p2

4

+

p

2

•(1+2k2)p+

p2

4

=（1+k²）p²．
∴|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識(shí)．屬于中檔題．