Question

已知圓C的圓心為原點O，且與直線x+y+4

2

=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）點P在直線x=8上，過P點引圓C的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析：（1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點，寫出圓C的方程即可；
（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據切線的性質得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據90°圓周角所對的弦為直徑可得A，B在以OP為直徑的圓上，設出P的坐標為（8，b），由P和O的坐標，利用線段中點坐標公式求出OP中點坐標，即為以OP為直徑的圓的圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出OP的長，即為半徑，寫出以OP為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過（2，0），得證．

解答：
（本小題滿分14分）
解：（1）依題意得：圓心（0，0）到直線x+y+4

2

=0的距離d=r，
∴d=r=

4 2

1+1

=4，---（2分）
所以圓C的方程為x²+y²=16①；-----（4分）
（2）連接OA，OB，
∵PA，PB是圓C的兩條切線，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，------（5分）
∴A，B在以OP為直徑的圓上，-------（6分）
設點P的坐標為（8，b），b∈R，
則線段OP的中點坐標為(4，

b

2

)，------（8分）
∴以OP為直徑的圓方程為(x-4)2+(y-

b

2

)2=42+(

b

2

)2，b∈R，-----（10分）
化簡得：x²+y²-8x-by=0②，b∈R，------（11分）
∵AB為兩圓的公共弦，
∴①-②得：直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，------（13分）
則直線AB恒過定點（2，0）．-------（14分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，切線的性質，圓周角定理，線段中點坐標公式，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩圓公共弦的性質，以及恒過定點的直線方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質是解本題第一問的關鍵．