Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.
，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2﹣2=2．
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．
（II）．
令h（x）=px²﹣2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸方程為，
∴，只需，
即p≥1時(shí)，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．
（III）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；
x=1時(shí)，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]，
當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²﹣2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，
對稱軸在y軸的左側(cè)，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=﹣2x，因?yàn)閤∈[1，e]，所以h（x）＜0，，
此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
∴當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由，所以．
又由（Ⅱ）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，∴，不合題意；
當(dāng)p≥1時(shí)，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，
又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而，
g（x）_min=2，即，
解得，實(shí)數(shù)p的取值范圍是．