已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，點D（0，1）在且橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設過點F2且不與坐標軸垂直的直線交橢圓E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G（t，0），求點G橫坐標的取值范圍．
（Ⅲ）試用表示△GAB的面積，并求△GAB面積的最大值．
（Ⅰ）∵點D（0，1）在且橢圓E上，
∴b=1，
∵e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
a2-1
a2
=(
2
2
)2=
1
2
，
∴a2=2a2-2，
∴a2=2，a=
2
，
∴橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1（4分）
（Ⅱ）解法一：設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入
x2
2
+y2=1，整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．
∵直線AB過橢圓的右焦點F2，
∴方程有兩個不等實根．
記A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），
則x1+x1=
4k2
2k2+1
，x0=
1
2
(x1+x2)=
2k2
2k2+1
，y0=k(x0-1)=-
k
2k2+1
，（6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0)．
令y=0，得t=x0+ky0=
2k2
2k2+1
-
k2
2k2+1
=
k2
2k2+1
=
1
2
-
1
4k2+2
．（8分）
∵k≠0，∴0＜t＜
1
2
．
∴t的取值范圍為(0，
1
2
)．（10分）
解法二：設直線AB的方程為x=my+1，
由
x=my+1
x2
2
+y2=1
可得（m2+2）y2+2my-1=0．
記A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），
則y1+y2=
-2m
m2+2
，y1y2=-
1
m2+2
．
可得y0=
y1+y2
2
=
-m
m2+2
x0=my0+1=
2
m2+2
．                     （6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為y-y0=-m（x-x0）．
令y=0，得t=x0+
y0
m
=
2
m2+2
-
1
m2+2
=
1
m2+2
．（8分）
∵m≠0，∴0＜m＜
1
2
．
∴t的取值范圍為(0，
1
2
)．                           （10分）

（Ⅲ）解法一：S△GAB=
1
2
•|F2G|•|y1-y2|=
1
2
|F2G||k|•|x1-x2|．
而|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
8(k2+1)
2k2+1
，
∵0＜t＜
1
2
，由t=
k2
k2+2
，可得k2=
t
1-2t
，k2+1=
1-t
1-2t
，2k2+1=
1
1-2t
．
所以|x1-x2|=2
2
(1-2t)
1-t
1-2t
．
又|F2G|=1-t，
所以S△GAB=
1
2
(1-t)
t
1-2t
•2
2
(1-2t)
1-t
1-2t
=
2
(1-t)3t
（0＜t＜
1
2
）．（12分）
設f（t）=t（1-t）3，則f′（t）=（1-t）2（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間(0，
1
4
)單調遞增，在區(qū)間(
1
4
，
1
2
)單調遞減．
所以，當t=
1
4
時，f（t）有最大值f(
1
4
)=
27
64
．
所以，當t=
1
4
時，△GAB的面積有最大值
3
6
8
．（14分）
解法二：S△GAB=
1
2
•|F2G|•|y1-y2|
而|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
8(m2+1)
m2+2
，
由t=
1
m2+2
，可得m2+2=
1
t
．
所以|y1-y2|=
8(
1
t
-1)
1
t2
=
8t(1-t)
．
又|F2G|=1-t，
所以S△MPQ=
2t(1-t)3
．
所以△MPQ的面積為
2
t(1-t)3
（0＜t＜
1
2
）．（12分）
設f（t）=t（1-t）3，
則f'（t）=（1-t）2（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間(0，
1
4
)單調遞增，在區(qū)間(
1
4
，
1
2
)單調遞減．
所以，當t=
1
4
時，f（t）有最大值f(
1
4
)=
27
64
．
所以，當t=
1
4
時，△GAB的面積有最大值
3
6
8
．（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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