Question

有一個項數(shù)為10的實數(shù)等比數(shù)列{a_n}，S_n（n≤0）表示該數(shù)列的前n項和．
（1）當2＜k≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數(shù)列；
（2）研究當k∈{3，4}時，S_k，s₁₀，S₇能否成等差數(shù)列，如果能，請求出公比；如果不能，并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由S_k，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，分q=1和q≠1兩種情況分別求出其對應結(jié)論，整理即可證a_k-1，a₉，a₆也成等差數(shù)列；
（2）先把k=3代入S_k，s₁₀，S₇成等差數(shù)列，求出關(guān)于q的方程，看能否求出方程的根即可；同理k=4的求解過程一樣．

解答：解：（1）當q=1時，由2s₁₀=s_k+s₇?20a₁=ka₁+7a₁?k=13（舍）．所以S_k，S₁₀，S₇不成等差數(shù)列．
當q≠1時，sk=

a1(1-qk)

1-q

，s10=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

，由2s₁₀=s_k+s₇得
2q¹⁰=q^k+q⁷?2q⁸=q^k-2+q⁵?2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵?2a₉=a_k-1+a₆，
即a_k-1，a₉，a₆也成等差數(shù)列
（2）當k=3時，如果S_k，s₁₀，S₇成等差數(shù)列，則由2s₁₀=s₃+s₇得，
當q=1時，2s₁₀=s₃+s₇顯然不成立．
當q≠1時，2s₁₀=s₃+s₇?2q¹⁰=q³+q⁷，得到關(guān)于q的方程：2q⁷=1+q⁴
下面證明上述方程無解：①當q＞1時，2q⁷=q⁷+q⁷＞1+q⁷＞1+q⁴，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
②當0＜q＜1時，1+q⁴＞2q²＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
③當q＜0時，1+q⁴＞0＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
綜上所述：方程：2q⁷=1+q⁴無解．
即k=3，假設(shè)S_k，s₁₀，S₇成等差數(shù)列是錯誤的，S_k，s₁₀，S₇不成等差數(shù)列．
當k=4時，如果s₄，s₁₀，，s₇成等差數(shù)列，則由2s₁₀=s₄+s₇得，
當q=1時，2s₁₀=s₄+s₇顯然不成立；
當q≠1時，由2s₁₀=s₄+s₇?2q¹⁰=q⁴+q⁷，得到關(guān)于q的方程2q⁶=1+q³，
分解因式得：（2q³+1）（q³-1）=0?q=-

3	1 2

或q=1（舍）．
綜上所述：當k=4時，當q=1，s₄，s₁₀，，s₇不成等差數(shù)列；
當q=-

3	1 2

時，s₄，s₁₀，s₇成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題以及分類討論思想的應用．在解題過程中，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想等都是比較常用的．