Question

已知函數(shù)f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-f（-x），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[，]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：通過二倍角公式以及兩角差的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）通過正弦函數(shù)的對稱軸直接求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用函數(shù)g（x）=f（x）-f（-x），求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求出2x-的范圍，然后求解函數(shù)在區(qū)間[，]上的最小值和最大值．
解答：解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-）．
由于函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π，故ω=1，即函數(shù)f（x）=sin（2x-）．
（1）令2x-=kπ+（k∈Z），得x=+（k∈Z），
即為函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程．
令+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[+kπ，+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（-x）=sin（2x-）-sin[2（-x）-]=2sin（2x-），
由于x∈[，]，則0≤2x-≤，
故當(dāng)2x-=即x=時函數(shù)g（x）取得最大值2，當(dāng)2x-=即x=時函數(shù)g（x）取得最小值-2．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的基本知識，兩角差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對稱軸與單調(diào)減區(qū)間的求法，函數(shù)的最值的求解，考查計(jì)算能力．