Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若四邊形AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA₁的中點(diǎn)，則三棱錐A₁-MBC₁的體積為4．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出A₁C₁⊥平面A₁MB，從而三棱錐A₁-MBC₁的體積${V}_{{A}_{1}-MB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}MB}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若四邊形AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形，且AB=3，BC=5，
∴A₁C₁⊥AA₁，AC²+AB²=BC²，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面A₁MB，
∵M(jìn)是AA₁的中點(diǎn)，∴${S}_{△{A}_{1}MB}$=$\frac{1}{2}{S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×3×4）$=3，
∴三棱錐A₁-MBC₁的體積：
${V}_{{A}_{1}-MB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}MB}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}MB}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×3×4$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．