Question

已知函數f（x）=2cos²

x

2

+sinx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1，再結合正弦函數單調區(qū)間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（II）根據題意，得到x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，再結合正弦函數圖象在區(qū)間[

π

4

，

5π

4

]上的單調性，即可得到f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos²

x

2

=

1

2

（1+cosx），
∴f（x）=2cos²

x

2

+sinx=sinx+cosx+1=

2

sin（x+

π

4

）+1  …（4分）
∴f（x）的最小正周期T=2π…（5分）
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1．
∵x∈[0，π]，得 

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴當x+

π

4

=

π

2

時，即x=

π

4

時，sin（x+

π

4

）=1達到最大值，此時f（x）取得最大值為

2

+1；
當x=π時，sin（x+

π

4

）=-

2

2

達到最小值，此時f（x）取得最小值為0． 
綜上所述，得[f（x）]_max=f（

π

4

）=

2

+1，[f（x）]_min=f（π）=0．…（13分）

點評：本題給出三角函數式，求函數的單調區(qū)間和周期，并求在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．