(選修4-1:幾何證明選講)
如圖所示,已知PA與⊙O相切,A為切點,PBC為割線,弦CD∥AP,AD、BC相交于E點,F(xiàn)為CE上一點,且∠EDF=∠ECD.
(1)求證:EF•EP=DE•EA;
(2)若EB=DE=6,EF=4,求PA的長.
分析:(1)證明△DEF∽△PEA,即可得到比例式,從而可得結(jié)論;
(2)利用△DEF∽△CED,求EC的長,利用相交弦定理,求EP的長,再利用切割線定理,即可求PA的長.
解答:(1)證明:∵CD∥AP,∴∠ECD=∠APE.
∵∠EDF=∠ECD,∴∠APE=∠EDF…(3分)
又∵∠DEF=∠PEA,∴△DEF∽△PEA
∴DE:PE=EF:EA.即EF•EP=DE•EA.…(5分)
(2)解:∵∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED,
∴△DEF∽△CED,∴DE:EC=EF:DE,
∴DE2=EF•EC,
∵DE=6,EF=4,∴EC=9.…(6分)
∵弦AD、BC相交于點E,∴DE•EA=CE•EB
∴CE•EB=EF•EP.…(7分)
∴9×6=4×EP.解得:EP=
27
2
.…(8分)
PB=PE-BE=
15
2
PC=PE+EC=
45
2

由切割線定理得:PA2=PB•PC,…(9分)
PA2=
15
2
×
45
2
,
PA=
15
2
3
.…(10分)
點評:本題考查與圓有關(guān)的比例線段,考查三角形的相似,考查相交弦定理,切割線定理的運用,屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
已知⊙O的弦AB長為4,將線段AB延長到點P,使BP=2;過點P作直線PC切⊙O于點C;
(1)求線段PC的長;
(2)作⊙O的弦CD交AB于點Q(CQ<DQ),且Q為AB中點,又CD=5,求線段CQ的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•?诙#┻x修4-1:幾何證明選講
切線AB與圓切于點B,圓內(nèi)有一點C滿足AB=AC,∠CAB的平分線AE交圓于D,E,延長EC交圓于F,延長DC交圓于G,連接FG.
(Ⅰ)證明:AC∥FG;
(Ⅱ)求證:EC=EG.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•徐州模擬)本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,
若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,半徑分別為R,r(R>r>0)的兩圓⊙O,⊙O1內(nèi)切于點T,P是外圓⊙O上任意一點,連PT交⊙O1于點M,PN與內(nèi)圓⊙O1相切,切點為N.求證:PN:PM為定值.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣M=
21
34

(1)求矩陣M的逆矩陣;
(2)求矩陣M的特征值及特征向量;
C.選修4-2:矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中,求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
為參數(shù)r>0),以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
.若直線l與圓C相切,求r的值.
D.選修4-5:不等式選講
已知實數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求證:1<a+b<
4
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知PA與⊙O相切于點A,PBC為⊙O的割線,弦CD∥AP,AD與BC相交于點E,F(xiàn)為CE上一點,且DE2=EF•EC
(I)求證:A、P、D、F四點共圓
(II)若AE=6,DE=EB=4,求PA的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•南通一模)選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,若AD是△ABC的高,AE是⊙O的直徑,F(xiàn)是
BC
的中點.求證:
(1)AB•AC=AE•AD;
(2)∠FAE=∠FAD.

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