Question

已知函數(shù)f（x）=

x 2+ax+a

x

，且a＜1．
（1）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（2）在（1）的條件下，若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k為常數(shù)．若關(guān)于x的方程g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解x₁，x₂，求k的取值范圍，并比較

1

x1

+

1

x2

與4的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先應(yīng)在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并規(guī)定大小，然后通過(guò)作差法分析獲得兩數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系即可；
（2）首先要將抽象不等式結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性找到自變量之間的不等關(guān)系，注意定義域優(yōu)先原則．
（3）首先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或?yàn)榉侄魏瘮?shù)，通過(guò)研究?jī)啥魏瘮?shù)的單調(diào)性即可獲得兩根的分布情況，由根的條件以及根的分布即可獲得k的取值范圍．最后可以通過(guò)消參數(shù)的辦法：通過(guò)兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的方程分別將k用兩根表示出；或解方程的思想：直接將兩根用變量k表出解答問(wèn)題．

解答：解：（1）由題得：f（x）=x+

a

x

+a，設(shè)1≤x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

+a)-(x2+

a

x2

+a)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=（x₁-x₂）

(x1x2-a)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，又a＜1，得x₁x₂-a＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
要滿足f（5-2m）＜f（3m）
只要1≤5-2m＜3m，
∴m的取值范圍為：1＜m≤2．
（3）g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a=x²+kx+|x²-1|
g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解x₁，x₂，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
g（x）=

kx+1，0＜x≤1 2x2+kx-1，1＜x＜2

，
所以g（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，
故g（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解，
若1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-

1

2

＜0，
故不符題意，
因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由g（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由g（x₂）=0得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1；
故當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時(shí)，方程g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解．
方法一：因?yàn)?＜x₁≤1＜x₂＜2，
所以k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，因?yàn)閤₂＜2，
所以

1

x1

+

1

x2

＜4．
方法二：由g（x₁）=0得x₁=-

1

k，

由2x²+kx-1=0得x=

-k± k2+8

4

；
因?yàn)閤₂∈（1，2），所以x₂=

-k+ k2+8

4

．
則

1

x1

+

1

x2

=-k+

-k+ k2+8

4

=

1

2

(

k2+8

-k)．
而y=

1

2

(

k2+8

-k)=

4

k2+8? +k

在(-

7

2

，-1)上是減函數(shù)，
則

1

2

(

k2+8

-k)＜

1

2

(

(- 7 2 )2+8

+

7

2

)=4．
因此，

1

x1

+

1

x2

＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解答以及函數(shù)與方程的思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．