Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，數(shù)列{b_n}滿足，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=-a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，得到a_n+1-a_n=1，再由等差數(shù)列的定義求解；
由，右邊先用等比數(shù)列前n項和整理，這樣符合一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列相應(yīng)積的形式，用錯位相減法求解
（Ⅱ根據(jù)c_n=-a_nb_n，再由（I）求得：，當(dāng)n=1時，T_n=T₁=-1，當(dāng)n≥2時，符合一個等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)積的形式，用錯位相減法求解．
解答：解：（Ⅰ）由點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
則數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以a_n=n．
由，
則（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=，（n≥2）
兩式相減得：，n≥2．
即數(shù)列{b_n}的前n項和，n≥2．
當(dāng)n=1時，b₁=S₁=1，所以．
當(dāng)n≥2時，．
所以．（7分）

（Ⅱ）因為c_n=-a_nb_n，所以．
當(dāng)n=1時，T_n=T₁=-1，當(dāng)n≥2時，
設(shè)=．
令，則，
兩式相減得：=，
所以．
因此T_n==，n≥2．（13分）
又n=1時，T₁=-1也滿足上式，故T_n=．
點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項及前n項和以及用等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)造特殊數(shù)列問題，作為數(shù)列是研究規(guī)律一類知識，所以建模意識要強，要轉(zhuǎn)化為特定的數(shù)列去解決問題．