如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線于兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(Ⅲ)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
(Ⅰ)拋物線的方程為.(Ⅱ).
(Ⅲ)當時,.
【解析】(1)求出圓心坐標,拋物線的準線方程,由圓心到準線的距離可求出,就得到拋物線的方程;(2)當的角平分線垂直軸時,可得點,的斜率與的斜率互為相反數(shù).設出的坐標,表示出的斜率與的斜率,和點在拋物線上,即可求出的斜率.(3)設出的坐標,由可得的斜率,可寫出的方程,同理得的方程.就得到的方程.令,可得,求出函數(shù)的值域即得到的最小值.
(Ⅰ)∵點到拋物線準線的距離為,
∴,即拋物線的方程為.····························································· 2分
(Ⅱ)法一:∵當的角平分線垂直軸時,點,∴,
設,,
∴,∴ ,
∴. ··················································································· 5分
.··························································· 7分
法二:∵當的角平分線垂直軸時,點,∴,可得,,∴直線的方程為,
聯(lián)立方程組,得,
∵,
∴,.······································································ 5分
同理可得,,∴.································· 7分
(Ⅲ)法一:設,∵,∴,
可得,直線的方程為,
同理,直線的方程為,
∴,
,································································· 9分
∴直線的方程為,
令,可得,
∵,∴關于的函數(shù)在上單調遞增,
∴當時,.·············································································· 12分
法二:設點,,.
以為圓心,為半徑的圓方程為,·· ①
⊙方程:.······················ ②
①-②得:
直線的方程為.·············· 9分
當時,直線在軸上的截距,
∵,∴關于的函數(shù)在上單調遞增,
∴當時,. 12分
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省高三上學期四調考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(Ⅲ)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省高三上學期四調考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(3)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年山東省德州市高三上學期1月月考考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(3)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點
作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率.
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