如圖,已知拋物線和⊙,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線于兩點,圓心點到拋物線準線的距離為

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;

(Ⅲ)若直線軸上的截距為,求的最小值.

 

【答案】

(Ⅰ)拋物線的方程為.(Ⅱ)

(Ⅲ)當時,

【解析】(1)求出圓心坐標,拋物線的準線方程,由圓心到準線的距離可求出,就得到拋物線的方程;(2)當的角平分線垂直軸時,可得點,的斜率與的斜率互為相反數(shù).設出的坐標,表示出的斜率與的斜率,和點在拋物線上,即可求出的斜率.(3)設出的坐標,由可得的斜率,可寫出的方程,同理得的方程.就得到的方程.令,可得,求出函數(shù)的值域即得到的最小值.

(Ⅰ)∵點到拋物線準線的距離為,

,即拋物線的方程為.····························································· 2分

(Ⅱ)法一:∵當的角平分線垂直軸時,點,∴,

,,

,∴ ,

. ··················································································· 5分

.··························································· 7分

法二:∵當的角平分線垂直軸時,點,∴,可得,,∴直線的方程為

聯(lián)立方程組,得,

,

,.······································································ 5分

同理可得,,∴.································· 7分

(Ⅲ)法一:設,∵,∴

可得,直線的方程為,

同理,直線的方程為

,

,································································· 9分

∴直線的方程為,

,可得

,∴關于的函數(shù)在上單調遞增,

∴當時,.·············································································· 12分

法二:設點,

為圓心,為半徑的圓方程為,·· ①

方程:.······················ ②

①-②得:

直線的方程為.·············· 9分

時,直線軸上的截距,

,∴關于的函數(shù)在上單調遞增,

∴當時,.         12分

 

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作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為

(1)求拋物線的方程;

(2)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率.

                                                                  

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