對于函數(shù)f(x)，若f(x)=x，則稱x為f(x)的“不動點”；若?f［f(x)］=x，則稱x為f(x)“穩(wěn)定點”，函數(shù)f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f(x)=x},B={x|f［f(x)］=x}.

（1）求證：AB；

（2）若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R)，且A=B≠,求實數(shù)a的取值范圍.

(1)證明：若A=,則AB顯然成立,若A≠,設(shè)t∈A,

則f(t)=t,f[f(t)]=f[t]=t,即t∈B，從而AB.

(2)解：A中元素是方程f(x)=x即ax2-1=x的根，

∵A≠，∴a=0或即a≥-.

B中元素是方程a(ax2-1)2-1=x即a3x4-2a2x2-x+a-1=0的根，

由AB，則方程可化為(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0.

要使A=B，即使方程a2x2+ax-a+1=0…①無實根或?qū)嵏欠匠蘟x2-x-1=0…②的根.

若①無實根，則Δ=a2-4a2(1-a)＜0,

解得a＜；

若②有實根，且①的實根是②的實根，由②有a2x2=ax+a，

代入①得2ax+1=0，由此解得x=-，再代入②得+-1=0，

∴a=，故a的取值范圍是［-,］.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

       對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數(shù)的不動點，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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