Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=

n(an-a1)

2

（n∈N）且a₂=2．
（1）求a₁，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可求a₁，a₃，a₄的值；
（2）再寫一式，兩式相減，利用疊乘法，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）確定通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：n=1時(shí)，a₁=S₁=

a1-a1

2

=0；n=3時(shí)，0+a₂+a₃=

3(a3-a1)

2

，∴a₃=4；n=4時(shí)，0+a₂+a₃+a₄=

4(a4-a1)

2

，∴a₄=6；
（2）解：由（1）知，S_n=

nan

2

，∴n≥3時(shí)，S_n-1=

(n-1)an-1

2

兩式相減，整理可得

an

an-1

=

n-1

n-2

∴a_n=a2×

a3

a2

×…×

an

an-1

=2×

2

1

×

3

2

×…×

n-1

n-2

=2（n-1）（n≥3）
∵a₁=0，a₂=2也符合上式
∴a_n=2（n-1）；
（3）證明：∵Sn=

nan

2

=n(n-1)（n≥2）
∴

1

Sn

=

1

n-1

-

1

n

∴

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1
即

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．