Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且在處的切線與直線垂直．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極小值為．若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極小值為.

【解析】試題分析：（1），因?yàn)樵?/span>處的切線與直線垂直，所以，得與的關(guān)系。因?yàn)?/span> 函數(shù)有極值，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其判別式大于0，結(jié)合，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)的極小值、極小值點(diǎn)，令極小值等于2，求得極值點(diǎn)，進(jìn)而求實(shí)數(shù)的值。

試題解析：（1）∵，∴，

由題意，得，∴.①

∵有極值，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

∴，∴.②

由①②可得, 或．

故實(shí)數(shù)的取僮范圍是．

（2）存在.

∵．令， .

,隨值的變化情況如下表：

	+		-		+
	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴，∴或.

若，即，則（舍）.

若，又，∴，∴，

∵，∴，∴，∴.

∴存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極小值為.