Question

已知函數(shù)，，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實數(shù)的值；
(2)若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1)先求導(dǎo)，根據(jù)題意 (2)可將問題轉(zhuǎn)化為≥，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0得單調(diào)性，用單調(diào)性求最值。在解導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的過程中注意對的討論。
試題解析：(1)解法1：∵，其定義域為，
∴．  ∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．
∵，∴．  經(jīng)檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．、
解法2：∵，其定義域為，
∴．  令，即，整理，得．
∵，
∴的兩個實根（舍去），，
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

依題意，，即，∵，∴．
(2)對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．當(dāng)［1，］時，．
∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．
∵，且，．
①當(dāng)且［1，］時，，
∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，
∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．
②當(dāng)1≤≤時，
若1≤＜，則，若＜≤，則．
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③當(dāng)且［1，］時，，
∴函數(shù)在上是減函數(shù)．
∴.由≥，得≥，
又，∴．
綜上所述，的取值范圍為．