已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．
分析：由題意可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
a
4
，0），設(shè)AB的方程為x=
a
4
+ky，把它代入拋物線方程利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得 y1y2 的值．
從而求得 x1x2=
y12
a
•
y22
a
 的值．
解答：解：由題意可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
a
4
，0），設(shè)AB的方程為x=
a
4
+ky （這樣設(shè)包括了直線斜率不存在的情況，不需討論斜率），
把它代入拋物線方程可得y2-kay-
a2
4
=0，∴y1y2=-
a2
4
．
從而求得 x1x2=
y12
a
•
y22
a
=
a2
16
，
故答案為
a2
16
；-
a2
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有
1
|AF|
+
1
|BF|
=
4
a
4
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=2Px的任意一條焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（2）若弦AB被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m，n的兩部分，求證：
1
m
+
1
n
=
2
p
．

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