Question

已知AB是拋物線y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有x₁x₂=

a2

16

，y₁y₂=

-

a2

4

．

Answer 1

分析：由題意可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

a

4

，0），設(shè)AB的方程為x=

a

4

+ky，把它代入拋物線方程利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得 y₁y₂ 的值．
從而求得 x₁x₂=

y12

a

•

y22

a

的值．

解答：解：由題意可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

a

4

，0），設(shè)AB的方程為x=

a

4

+ky （這樣設(shè)包括了直線斜率不存在的情況，不需討論斜率），
把它代入拋物線方程可得y²-kay-

a2

4

=0，∴y₁y₂=-

a2

4

．
從而求得 x₁x₂=

y12

a

•

y22

a

=

a2

16

，
故答案為

a2

16

；-

a2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．