Question

已知三點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F₁、F₂關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)出所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，代入求解即可．

解答：解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其半焦距c=6
2a=|PF1|+|PF2|=

112+22

+

12+22

=6

5

∴a=3

5

，b²=a²-c²=9．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

45

+

y2

9

=1
（2）點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）．
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a 2 1

-

x2

b 2 1

=1(a1＞0，b1＞0)
由題意知，半焦距
c₁=6，2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=|

112+22

-

12+22

|=4

5

a1=2

5

，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

20

-

x2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力．屬于中檔題．