Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△EC的位置，使二面角－EC－B是直二面角．

(1)證明：BE⊥C；

(2)求二面角－BC－E的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AD＝2AB＝2，E是AD的中點， 　　∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形， 　　易知，∠BEC＝90°，即BE⊥EC． 　　又∵平面EC⊥平面BEC，面EC∩面BEC＝EC， 　　∴BE⊥面EC，又CÌ 面EC，∴BE⊥C； 　　(2)法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC垂足為F，連接M，F，則M⊥EC． 　　∵平面EC⊥平面BEC， 　　∴M⊥平面EBC， 　　∴MF是F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得： 　　F⊥BC 　　∴∠FM是二面－BC－E的平面角． 　　在Rt△MF中，M＝EC＝，MF＝AB＝ 　　∴ 　　即二面角－BC－E的正切值為． 　　法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 　　則B(，0，0)，C(0，，0)，(0，，) 　　設(shè)平面BEC的法向量為；平面BC的法向量為 　　 　　Þ tan＝ 　　∴二面角－BC－E的正切值為．