(2012•河南模擬)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交z軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且2
F1F2
+
F2Q
=0
,過(guò)A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的半徑為2.過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于G,H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M,H之間).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的斜率k>0,在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)因?yàn)?span id="ugi8g44" class="MathJye">2
F1F2
+
F2Q
=0,知a,c的一個(gè)方程,再利用△AQF的外接圓與直線l相切得出另一個(gè)方程,解這兩個(gè)方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程;
(II)設(shè)l的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)表示,利用基本不等式,即可求得m的取值范圍.
解答:解:(I)因?yàn)?span id="s0kyge8" class="MathJye">2
F1F2
+
F2Q
=0,所以F1為F2Q中點(diǎn).
設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),
因?yàn)锳Q⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,
且過(guò)A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為2c
因?yàn)樵搱A與直線l相切,所以
|-c-3|
2
=2c
,解得c=1,
所以a=2,b=
3
,所以所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;
(Ⅱ)設(shè)l的方程為y=kx+2(k>0),與橢圓方程聯(lián)立,消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.
設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則x1+x2=-
16k
3+4k2

PG
+
PH
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2).
=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)
GH
=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).
由于菱形對(duì)角線互相垂直,則(
PG
+
PH
)•
GH
=0,
所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0.
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0.
因?yàn)閗>0,所以x2-x1≠0.
所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0.
所以(1+k2)(-
16k
3+4k2
)+4k-2m=0.
解得m=-
2k
3+4k2
,即m=-
2
3
k
+4k

因?yàn)閗>
1
2
,可以使
3
k
=4k
,所以-
3
6
≤m<0

故存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是[-
3
6
,0
).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查基本不等式的運(yùn)用,解題時(shí)應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.
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i
1+i
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3
,A+C=3B,則sinC=
6
3
6
3

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