Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-b的圖象與直線y=3x+2相切于點(diǎn)A（1，f（1））
（1）求a、b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（-1，f（-1））的切線方程為l，直線m平行l(wèi)，且m與曲線g（x）=x³相切．求直線l和m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用切點(diǎn)在直線y=3x+2、函數(shù)f（x）=ax³-b上，即可求a、b的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程．

解答： 解：（1）由題意，∵函數(shù)f（x）=ax³-b的圖象與直線y=3x+2相切于點(diǎn)A（1，f（1）），
∴f（1）=a-b=5，f′（1）=3a=3，
∴a=1，b=-4；
（2）f（x）=x³+4，f′（x）=3x²，
∴f′（-1）=3，f（-1）=3，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（-1，f（-1））的切線方程l：y-3=3（x+1），即3x-y+6=0；
∵g（x）=x³，∴g′（x）=3x²，
∵直線m平行l(wèi)，且m與曲線g（x）=x³相切，
∴3x²=3，∴x=1，
∴切點(diǎn)為（1，1），
∴m的方程為y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．