Question

在矩形紙片內(nèi)取n(n∈N^*)個(gè)點(diǎn),連同矩形的4個(gè)頂點(diǎn)共(n+4)個(gè)點(diǎn).這(n+4)個(gè)點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線.以這些點(diǎn)作三角形的頂點(diǎn),把矩形紙片剪成若干個(gè)三角形紙片,把這些三角形紙片的個(gè)數(shù)記為a_n.

（1）求a₁,a₂;

(2)求數(shù)列{a_n}的遞推公式;

(3)根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng).

Answer 1

解：(1)a₁=4,a₂=6.

(2)因?yàn)檫@(n+4)個(gè)點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線,所以每增加1個(gè)點(diǎn)A_i(如上圖,點(diǎn)A_i必在某一個(gè)三角形內(nèi)),剪成的三角形紙片必新增加3個(gè)(如上圖中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),但減少了原來(lái)的1個(gè),實(shí)際增加2個(gè),所以{a_n}的遞推公式是a_n=a_n-1+2(n≥2).

(3)a₁=4,a₂=a₁+2=4+2=6,

a₃=a₂+2=6+2=8,a₄=a₃+2=8+2=10,

a₅=a₄+2=10+2=12,a₆=a₅+2=12+2=14.