Question

（2012•房山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax）e

x

a

，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，寫出f（x），f′（x），切點(diǎn)坐標(biāo)，切線斜率為f′（0），由點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（II）求出函數(shù)定義域，導(dǎo)數(shù)f′（x），分a＞0，a＜0兩種情況進(jìn)行討論：解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，f′（0）=-2，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程y-0=-2（x-0），即y=-2x．
（II）f（x）的定義域?yàn)镽，則f′(x)=(2x-2a)e

x

a

+（x²-2ax）e

x

a

•

1

a

=(

1

a

x2-2a)e

x

a

，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＞0，得x²-2a²＞0，解得x＜-

2

a或x＞

2

a，
由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＜0，得x²-2a²＜0，解得-

2

a＜x＜

2

a，
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

2

a），（

2

a，+∞），減區(qū)間為（-

2

a，

2

a）；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＞0，得x²-2a²＜0，解得

2

a＜x＜-

2

a，
由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＜0，得x²-2a²＞0，解得x＜

2

a或x＞-

2

a，
故f（x）的增區(qū)間為（

2

a，-

2

a），減區(qū)間為（-∞，

2

a），（-

2

a，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．