Question

【題目】已知某工廠每天的固定成本是4萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為a元時(shí)，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的銷售收入為（元），為每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均利潤（平均利潤=總利潤/總產(chǎn)量）.銷售商從工廠每件a元進(jìn)貨后又以每件b元銷售，，其中c為最高限價(jià)，為該產(chǎn)品暢銷系數(shù).據(jù)市場調(diào)查，由當(dāng)是的比例中項(xiàng)時(shí)來確定.

（1）每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤取得最大值？并求出的最大值；

（2）求暢銷系數(shù)的值；

（3）若，當(dāng)廠家平均利潤最大時(shí)，求a與b的值.

Answer 1

【答案】（1）每天生產(chǎn)量為400件時(shí)平均利潤最大，最大值為200元；（2）；（3），.

【解析】

（1）先求出總利潤＝，依據(jù)（平均利潤＝總利潤/總產(chǎn)量）可得，利用均值不等式得最大利潤；

（2）由已知得，結(jié)合比例中項(xiàng)的概念可得，兩邊同時(shí)除以將等式化為的方程，解出方程即可；

（3）利用平均成本平均利潤，結(jié)合廠家平均利潤最大時(shí)（由（1）的結(jié)果）可得的值，利用可得的值.

（1）由題意得，總利潤為.

于是

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.

故每天生產(chǎn)量為400件時(shí)平均利潤最大，最大值為200元.

（2）由可得，

由是的比例中項(xiàng)可知，

即

化簡得，解得.

（3）廠家平均利潤最大，生產(chǎn)量為件.

.

（或者）

代入可得.

于是，.