Question

【題目】已知圓的圓心在直線： 上，與直線： 相切，且截直線： 所得弦長(zhǎng)為6

（Ⅰ）求圓的方程

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)是否存在直線，使以被圓截得弦為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在，寫(xiě)出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在直線.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圓的圓心在直線： 上，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為，再根據(jù)圓與直線相切，截直線： 所得弦長(zhǎng)為6，列出等式方程求解即可；（2）由題意過(guò)的直線斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，設(shè)， ，則，聯(lián)立直線與圓的方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，利用韋達(dá)定理即可求出.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓心

∵圓與直線相切

∴

∵ 圓截直線： 所得弦長(zhǎng)為6

∴圓到直線的距離為

∴

∴

∴圓心，

∴圓的方程

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 不符合題意

②設(shè)：

設(shè)

∵被圓截得弦為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

∴，即

∴

聯(lián)立直線與圓的方程

化簡(jiǎn)可得，即

∴，

∵， ，

∴，即

∴

∵

∴無(wú)解

∴不存在直線.