Question

（2013•香洲區(qū)模擬）某企業(yè)某年生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過合理定價及促銷活動，確保產(chǎn)銷平衡（根據(jù)市場情況確定產(chǎn)量，使該年所生產(chǎn)產(chǎn)品剛好全部銷售完畢），年產(chǎn)量、年銷量均為x萬件．已知每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需投入32萬元的生產(chǎn)費用，另外該年生產(chǎn)設(shè)備折舊、維修等固定費用總共為4萬元．每件產(chǎn)品定價為平均每件生產(chǎn)成本的150%進(jìn)行銷售，年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足關(guān)系：6-x=

k

t+1

（k為常數(shù)），當(dāng)年促銷費用t=0萬元時年銷量是x=2萬件．
（Ⅰ）將年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）該企業(yè)年促銷費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？相應(yīng)年產(chǎn)量及最大年利潤為多少？
注：生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用  （不包括促銷費用）
利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，x=6-

k

t+1

，將t=0，x=2代入得k=4，年銷售量x=6-

4

t+1

，t≥0．產(chǎn)銷平衡即年產(chǎn)量等于年銷量x萬件，由此分別求出年生產(chǎn)成本和年銷售收入，由此能（將年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數(shù)．
（Ⅱ）由y=98-

64

t+1

-t=99-（t+1+

64

t-1

），t≥0，利用均值不等式能求出當(dāng)促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大，并能求出此時年產(chǎn)量和年利潤最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，x=6-

k

t+1

，將t=0，x=2代入得k=4，
∴年銷售量x=6-

4

t+1

，t≥0．
依題意，產(chǎn)銷平衡即年產(chǎn)量等于年銷量x萬件，
∴當(dāng)年生產(chǎn)量為x萬件時，
年生產(chǎn)成本=32x+4=32（6-

4

t+1

）+4=196-

128

t+1

，
平均每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本=（196-

128

t+1

）÷x，
年銷售收入=[（196-

128

t+1

）÷x]×

3

2

x=

3

2

(196-

128

t+1

)，
∴年利潤y=

3

2

(196-

128

t+1

)-（196-

128

t+1

）-t=98-

64

t+1

-t，t≥0．
（Ⅱ）∵y=98-

64

t+1

-t=99-（t+1+

64

t-1

），t≥0
∴t+1+

64

t+1

≥2

(t+1)• 64 t+1

=16，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t+1=

64

t+1

，即t=7時，y_max=99-16=83．
∴當(dāng)促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大，
此時年產(chǎn)量x=5.5萬件，年利潤最大值為83萬元．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于難題．