Question

已知點A（1，1），B（1，-1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點．
（1）若||=，求sin2θ的值；
（2）若實數(shù)m，n滿足m+n=，求（m-3）²+n²的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)計算（終點坐標(biāo)減始點坐標(biāo)）求出，然后再根據(jù)向量減法和模的坐標(biāo)計算結(jié)合條件||=得出sinθ+cosθ=再兩邊平方即可得解．
（2）根據(jù)向量相等和條件m+n=求出然后再代入（m-3）²+n²中可得（m-3）²+n²=-3（sinθ+cosθ）+10再結(jié)合輔助角公式可得（m-3）²+n²=-6sin（θ+）+10從而可得出當(dāng)sin（θ+）=-1時，（m-3）²+n²取得最大值16．
解答：解：（1）∵|-|=||，A（1，1），B（1，-1），C（cosθ，sinθ）
∴=（cosθ-1，sinθ-1）
∴||²=（cosθ-1）²+（sinθ-1）²=-2（sinθ+cosθ）+4．
∴-2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=，
兩邊平方得1+sin2θ=，
∴sin2θ=-．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（cosθ，sinθ），
∴
解得
∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+）+10，
∴當(dāng)sin（θ+）=-1時，（m-3）²+n²取得最大值16．
點評：本題主要考察了向量的坐標(biāo)計算、減法、模的坐標(biāo)計算以及三角函數(shù)的化簡求值，屬�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是掌握常用的變形技巧：通過sinθcosθ兩邊平方求出sin2θ：通過輔助角公式可將-3（sinθ+cosθ）+10化為-6sin（θ+）+10！