精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
是否存在正整數m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對任意自然數n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．
由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，顯然成立．
（2）假設n=k時，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
當n=k+1時，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由于3k-1-1是2的倍數，故18（3k-1-1）能被36整除．
這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知對一切正整數n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值為36．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常數且q＞0，q≠1，）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）當q=
1
3
時，試證明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）設函數f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整數m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
對任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（Ⅲ）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設Tn是數列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}的前10項和為100，且a4=7，對任意的k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列{bn}，設Sn、Tn分別是{an}﹑{bn}前n項和．
（Ⅰ）a10是數列{bn}的第幾項？
（Ⅱ）是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若am是數列{bn}的第f（m）項，試比較Tf（m）與Sm+2的大小，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的各項均為正實數，bn=log2an，若數列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數，且p≠1．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）是否存在正整數M，使得當n＞M時，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設數列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問數列{cn}是不是等比數列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知數列{an}，定義其倒均數是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
，n∈N*．
（1）若數列{an}倒均數是Vn=
n+2
2
，求an；
（2）若等比數列{bn}的公比q=2，其倒均數為Vn，問是否存在正整數m，使得當n≥m（n∈N*）時，nVn＜
15
8b1
恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案