Question

（2012•蘭州模擬）已知點(diǎn)M是直線x=-

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2

上的動(dòng)點(diǎn)，F(

1

2

，0)為定點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于直線x=-

1

2

的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)Q（a，0）（a＞0）且與x軸不垂直的直線l與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B，若在x軸上存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由過點(diǎn)M且垂直于直線x=-

1

2

的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P，可得|PF|=|PM|，利用拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是拋物線，從而求得方程；
（2）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用△ABC為正三角形，建立兩個(gè)方程，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵過點(diǎn)M且垂直于直線x=-

1

2

的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P，∴|PF|=|PM|，
∴由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線x=-

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為N（x₀，y₀），C（t，0），直線l的方程為x=my+a（m≠0）
與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：y²-2my-2a=0
∴△=4m2+8a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a
∴y₀=m，x₀=m²+a
∵△ABC為正三角形，
∴NC⊥AB，NC=

3

2

AB
∴

y0

x0-t

×

1

m

=-1，

(x0-t)2+y02

=

3

2

(x1-x2)2+(y1-y2)2

∴t=m²+a+1，

(m2+a-t)2+m2

=

3

2

(m2+1)×4(m2+2a)

∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a）
∴a=

1

6

-

m2

2

∵m≠0，a＞0
∴0＜a＜

1

6

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

1

6

）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．