Question

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且

1

a+b

+

1

a+c

=

3

a+b+c

（1）求角A 的大�。�
（2）若

c

b

=

1

2

+

3

，a=

15

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）在已知的等式兩邊同時(shí)乘以a+b+c，變形后得到一個(gè)關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，把得到的關(guān)系式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

化簡(jiǎn)已知的等式，然后由A+B+C=π，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，把sinA，cosA的值代入即可求出tanB的值，然后再由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）由題意

a+b+c

a+b

+

a+b+c

a+c

=3，即

c

a+b

+

b

a+c

=1，
整理得：b²+c²-a²=bc，（2分）
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵在△ABC中，0＜A＜π，
∴A=

π

3

；（6分）
（2）由正弦定理得：

c

b

=

sinC

sinB

=

sin(A+B)

sinB

=

sinAcosB+cosAsinB

sinB

，
所以

sinA

tanB

+cosA=

3

2tanB

+

1

2

=

1

2

+

3

，
解得tanB=

1

2

，
則cos²B=

1

sec2B

=

1

1+tan2B

=

4

5

，又B∈（0，π），
所以sinB=

1- 4 5

=

5

5

，（10分）又a=

15

，sinA=

3

2

，
由正弦定理得b=

asinB

sinA

=

15 × 5 5

3 2

=2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式．熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．