已知函數(shù)f（x）=.

   （1）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明;

   （2）求f（x）的反函數(shù).

解析：（1）∵x∈R時,2x+1＞0恒成立．∴f（x）的定義域是R．

f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：

設(shè)x1,x2∈R,且x1＜x2,則0＜2x1＜2x2

∴f（x1）－f（x2）=

==．

∵2x1－2x2＜0,2x1+1＞0,2x2+1＞0　　

∴f（x1）－f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在R上是增函數(shù)．

（2）由y=,解得2x=（-1<x<1）

∵2x＞0,∴＞0,即 －1＜y＜1　

∴x=log2 （－1＜y＜1）

∴f（x）的反函數(shù)為f－1（x）=log2 （-1<x<1）．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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