Question

（2012•閘北區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值．
（1）求實常數(shù)a的取值范圍；
（2）設g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）分x≥2與x＜2討論，將絕對值符號去掉，結(jié)合題意f（x）有最小值，即可求得常數(shù)a的取值范圍；
（2）設x＞0，則-x＜0，由題意可求得g（x）=（a-2）x-4，而當x＜0時，g（x）=f（x），從而可得g（x）的解析式．

解答：解：（1）∵f（x）=2|x-2|+ax，
∴f(x)=

(a+2)x-4，x≥2 (a-2)x+4，x＜2

（3分）
又函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值，
∴-2≤a≤2，
即當-2≤a≤2 f（x）有最小值；（3分）
（2）∵g（x）為R上的奇函數(shù)，
∴g（-0）=-g（0），得g（0）=0，（2分）
設x＞0，則-x＜0，由g（x） 為奇函數(shù)，得g（x）=-g（-x）=（a-2）x-4． （4分）
∴g（x）=

(a-2)x+4，x＜0 0，x=0 (a-2)x-4，x＞0

，（2分）

點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，著重考查函數(shù)的奇偶性，正確理解“函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值”是關鍵，也是難點，屬于中檔題．