Question

（2手11•浙江）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

3

+y²=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若

F1A

=5

F2B

；則點(diǎn)A的坐標(biāo)是______．

Answer 1

方法1：直線右₁A的反向延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B'
又∵

右1A

=5

右hB

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得

右1A

=5

B′右1

設(shè)A（x₁，y₁），B'（x_h，y_h）
由于橢圓

xh

3

+yh=1的a=

3

，b=1，c=

h

∴e=

c

a

=

h

3

=

6

3

，右₁（

h

，6）．
∵|右1A|=

6

3

|x1+

3 h

h

|
|右1B′|=

6

3

|xh+

3 h

h

|
從而有：

6 3 |x1+ 3 h h |=5× 6 3 |xh+ 3 h h |

由于-

3

≤x₁，x_h≤

3

，
∴x1+

3 h

h

＞6，xh+

3 h

h

＞6，
即

6

3

(

3 h

h

+x1)=5×

6

3

(xh+

3 h

h

)

3 h

h

+x1=5(xh+

3 h

h

)． ①
又∵三點(diǎn)A，右₁，B′共線，

右1A

=5

B′右1

∴（x1-(-

h

)，y₁-6）=5（-

h

-x_h，6-y_h）
∴

x1+ h =5(- h -xh)

．②
由①+②得：x₁=6．
代入橢圓的方程得：y₁=±1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，1）或（6，-1）
&4bsp;方法h：因?yàn)橛?sub>1，右_h分別為橢圓

xh

3

+yh=1的焦點(diǎn)，則右1(-

h

，6)，右h(

h

，6)，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若

右1A

=5

右hB

；則

xA+ h =5(xB- h ) yA=5yB

，所以

xB= xA+6 h 5 yB= yA 5

，
因?yàn)锳，B在橢圓上，所以

xAh 3 +yAh=1 xBh 3 +yBh=1

，代入解得

xA=6 yA=1

或

xA=6 yA=-1

，
故A（6，±1）．
故答案為：（6，±1）．