Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α為銳角，且f（α）=2，求α的值．

Answer 1

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與茶的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的值域，即可求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）由α為銳角，根據(jù)f（α）=2列出關(guān)系式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α的度數(shù)．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
（Ⅰ）∵ω=2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴1-

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）+1≤1+

2

，
即1-

2

≤f（x）≤1+

2

，
則函數(shù)f（x）的最小值為1-

2

；
（Ⅱ）由α為銳角，f（α）=2，
得：

2

sin（2α+

π

4

）+1=2，
∴sin（2α+

π

4

）=

2

2

，
又∵α∈（0，

π

2

），
∴

π

4

＜2α+

π

4

＜

5π

4

，
∴2α+

π

4

=

3π

4

，
即α=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．