Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-1，2]），且函數(shù)f（x）在x=1和x=-

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處都取得極值．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若對任意x∈[-1，1]，f（x）＜c²，恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，得出方程組，解出a，b即可；
（2）作出x，f′（x），f（x）的變化表格，得出x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c；
（3）由題意得只需c²＞2+c，解不等式即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
由題意可知

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

，解得

a=- 1 2 b=-2

；
（2）由（1）知f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），

x	(-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2）
f'（x）	+	極大值	-	極小值	+
f（x）	↑	c+ 22 27	↓	c- 3 2	↑

∵f（2）=2+c，
∴x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c；
（3）∵對于任意的x∈[-1，1]，f（x）＜c²恒成立，
∴只需c²＞2+c，
∴c＜-1或c＞2．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，本題屬于中檔題．