Question

20．在實(shí)數(shù)集R上定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)于任意給定的a、b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對(duì)任意a、b∈R，a*b=b*a；
（2）對(duì)任意a、b∈R，a*0=a；
（3）對(duì)任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
關(guān)于函數(shù)f（x）=x*$\frac{1}{x}$的性質(zhì)，有如下說法：
①在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)條件在③中令c=0得到a*b=ab+a+b從而得到f（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和最值的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①由新運(yùn)算“*”的定義③令c=0，
則（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，
即a*b=ab+a+b
∴f（x）=x*$\frac{1}{x}$=1+x+$\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x*$\frac{1}{x}$=1+x+$\frac{1}{x}$≥1+2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=1+2=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時(shí)取等號(hào)，∴在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；故①正確，
②函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
∵f（1）=1+1+1=3，f（-1）=1-1-1=-1，
∴f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤，
③函數(shù)的f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0
則x=±1，
∵當(dāng)x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）、（1，+∞）．故③正確；
故正確的是①③，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)新定義運(yùn)算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，根據(jù)條件令c=0求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．