Question

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-

1

2

x2+x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥1時，f(x)＞

1

6

x3-

1

2

x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)的定義域然后求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)f′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進行判定極值即可．
（Ⅱ）將所求不等式進行整理得到g（x）=（x-1）（ex-

x

2

-

3

2

），令u（x）=ex-

x

2

-

3

2

，當(dāng)x≥1時，u（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，進而得到g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x在[1，+∞）上是增函數(shù)，即得證．

解答：解：（I）f′（x）=（x-1）（e^x-1）
由f′（x）＞0，解得x＜0或x＞1，
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函數(shù)； f（x）在0，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)x=0時，f（x）有極大值f（0）=0，當(dāng)x=1時，f（x）有極小值f(1)=

5

2

-e；
（II）設(shè)g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

xg′(x)=(x-1)(ex-

x

2

-

3

2

)，
令u（x）=ex-

x

2

-

3

2

，則u′(x)=ex-

1

2

，
當(dāng)x≥1時，u′(x)=ex-

1

2

＞0，u（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，u（x）≥u（1）=e-2＞0
所以g′(x)=(x-1)(ex-

x

2

-

3

2

)≥0，g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x在[1，+∞）上是增函數(shù)，
g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x≥g(1)=

17

6

-e＞0，所以f(x)＞

1

6

x3-

1

2

x．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．