Question

（本題滿分12分）

設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）試寫出一個(gè)區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，且數(shù)列是遞增數(shù)列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由恒成立等價(jià)于恒成立 ……1分

從而得：，化簡(jiǎn)得，從而得，

所以，                                             ………3分

（2）解：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則即：

  ………5分[ZXX又當(dāng)時(shí)，，

所以有且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列。        …………7分

注：本題的區(qū)間也可以是、、、………，等無窮多個(gè).

（3）由（2）知，從而；

，

即；                                         ………8分

令，則有且；

從而有，可得，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，         

從而得，即，

所以 ，                           ……………………10分

所以，所以，

所以，

.………………………11分

即，所以，恒成立

（1）   當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為。

（2）   當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為。

所以，對(duì)任意，有。又非零整數(shù)，…………………12分

 

【解析】略