已知點M（x0，y0）（x0≠0）在拋物線E：y2=2px（p＞0）上，拋物線的焦點為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長為2p；
②若p=2，則|MF|-x0恒為定值1；
③若2p=1，且△MON（O為坐標原點，N在拋物線E上）為正三角形，則|MN|=4
3
；
④若2p=1，則拋物線E上一定存在兩點關于直線y=-x+3對稱．
其中你認為正確的所有命題的序號為
①②④
①②④
．
分析：①根據(jù)通徑的定義可知其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為M到準線的距離，再進行判斷；
③設另外兩個頂點的坐標分別為 （m2，m），（ m2，-m），由 tan30°=
m
m2
，解得 m的值，從而求出|MN|的值．
④設存在兩點關于直線對稱，則兩點連線與對稱軸垂直，根據(jù)兩點的中點在對稱軸上，將兩點代入拋物線方程作差，得到斜率與中點的關系，據(jù)點在拋物線上，利用方程組求出對稱的兩點即可進行判斷．
解答：解：①根據(jù)通徑的定義可知，拋物線E的通徑長為2p．其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為M到準線的距離，
即|MF|-x0=|MP|-x0=|PQ|=定值1．故正確；
③設正三角形另外兩個頂點的坐標分別為 （ m2，m），（ m2，-m），由 tan30°=
m
m2
，
解得 m=
3
，故這個正三角形的邊長為  2m=2
3
，
故正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為2
3
，③錯誤．
 ④：直線l的方程為y=-x+3，設弦的兩個端點分別是A（x1，y1）、B（x2，y2），
代入拋物線方程并作差得（y1+y2）（y1-y2）=x1-x2．
∵kAB=
y1-y2
x1-x2
=1，
∴y1+y2=1．注意到AB的中點在直線y=-x+3上，
∴x1+x2=6-（y1+y2）=6-1=5，
∴y12+y22=x1+x2=5，結合上面的y1+y2=1解出
y1=-1
y2=2
或
y1=2
y2=-1
．
故拋物線y2=x上總存在兩點關于直線對稱．
故答案為：①②④．
點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，考查直線與圓錐曲線之間的關系，本小題④解題的關鍵是利用兩點關于直線對稱時，兩點連線與對稱軸垂直，兩點中點在對稱軸上．
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，
4y0
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①拋物線E的通徑長為2p；
②若以M為切點的拋物線E的切線為l，則直線y=y0與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等；
③若2p=1，且△MON（O為坐標原點，N在拋物線E上）為正三角形，則|MN|=4
3
；
④若2p=1，b∈(
3
4
，+∞)，則拋物線E上一定存在兩點關于直線y=-x+b對稱．
其中你認為正確的所有命題的序號為
①②④
①②④
．

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