Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)，G分別為B₁C₁，CC₁，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁BG；
（2）若AA₁=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1，求三棱錐G-A₁B₁B的體積．

Answer 1

分析 （1）在A₁C₁上取點(diǎn)M，使得C₁M=$\frac{1}{4}$A₁C₁，連結(jié)EM，F(xiàn)M，取A₁C₁的中點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，NG，NC，GB．證明平面MEF∥平面A₁BG，從而得出EF∥平面A₁BG．
（2）三棱錐G-A₁B₁B的體積等于三棱柱ABG-A₁B₁N的體積減去三棱錐A₁-ABG和三棱錐G-A₁B₁N的體積．

解答 解：（1）在A₁C₁上取點(diǎn)M，使得C₁M=$\frac{1}{4}$A₁C₁，連結(jié)EM，F(xiàn)M，取A₁C₁的中點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，NG，NC，GB．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴B₁B∥NG，B₁B=NG，
∴四邊形BGNB₁是平行四邊形，∴B₁N∥BG，
∵M(jìn)是C₁N的中點(diǎn)，E是B₁C₁的中點(diǎn)，∴ME∥BG，
∴ME∥BG，∵BG?平面A₁BG，ME?平面A₁BG，
∴ME∥平面A₁BG，同理可得：MF∥平面A₁BG，
又∵M(jìn)E?平面MEF，MF?平面MEF，ME∩MF=M，
∴平面MEF∥平面A₁BG．∵EF?平面MEF，
∴EF∥平面A₁BG．
（2）∵AA₁=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴BG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABG}$=V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$．
∴V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}B}$=V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$-V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABG}$-V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．