18.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G分別為B1C1,CC1,AC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面A1BG;
(2)若AA1=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1,求三棱錐G-A1B1B的體積.

分析 (1)在A1C1上取點(diǎn)M,使得C1M=$\frac{1}{4}$A1C1,連結(jié)EM,F(xiàn)M,取A1C1的中點(diǎn)N,連結(jié)B1N,NG,NC,GB.證明平面MEF∥平面A1BG,從而得出EF∥平面A1BG.
(2)三棱錐G-A1B1B的體積等于三棱柱ABG-A1B1N的體積減去三棱錐A1-ABG和三棱錐G-A1B1N的體積.

解答 解:(1)在A1C1上取點(diǎn)M,使得C1M=$\frac{1}{4}$A1C1,連結(jié)EM,F(xiàn)M,取A1C1的中點(diǎn)N,連結(jié)B1N,NG,NC,GB.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴B1B∥NG,B1B=NG,
∴四邊形BGNB1是平行四邊形,∴B1N∥BG,
∵M(jìn)是C1N的中點(diǎn),E是B1C1的中點(diǎn),∴ME∥BG,
∴ME∥BG,∵BG?平面A1BG,ME?平面A1BG,
∴ME∥平面A1BG,同理可得:MF∥平面A1BG,
又∵M(jìn)E?平面MEF,MF?平面MEF,ME∩MF=M,
∴平面MEF∥平面A1BG.∵EF?平面MEF,
∴EF∥平面A1BG.
(2)∵AA1=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1,∴AC=$\sqrt{2}$,AB⊥BC,∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴BG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABG}$=V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$.
∴V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}B}$=V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$-V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABG}$-V${\;}_{棱錐G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{12}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定,面面平行的性質(zhì),棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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