Question

平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，過(guò)三點(diǎn)A、P、N的圓的圓心坐標(biāo)是______．

Answer 1

四邊形PABN的周長(zhǎng)為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2

+

(4-1)2+(0+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+1
=

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+

13

+1，
只需求出

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

的最小值時(shí)的a值．
由于

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

=

(a-1)2+(0-3)2

+

(a-3)2+(0-1)2

，
表示x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．
利用對(duì)稱的思想，可得該距離之和的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
且取得最小的a值為E（1，-3）與F（3，1）確定的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線EF的斜率k=

1+3

3-1

=2，∴直線EF方程為y+3=2（x-1），化簡(jiǎn)得y=2x-5，
令y=0，得x=

5

2

，所以此時(shí)a值為

5

2

由以上的討論，得四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，P（

5

2

，1），N（

7

2

，1）
設(shè)過(guò)三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得

12+(-2)2+D-2E+F=0 ( 5 2 )2+12+ 5 2 D+E+F=0 ( 7 2 )2+12+ 7 2 D+E+F=0

，解之得D=-6，E=

9

4

，F(xiàn)=

11

2

∴過(guò)三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²-6x+

9

4

y+

11

2

=0，可得圓坐標(biāo)為（3，-

9

8

）
故答案為：（3，-

9

8

）