Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足(p-1)S_n=p²-a_n(p＞0，p≠1)，且a₃=，
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)b_n=，數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有T_n＜m²-m+成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題設(shè)知(p-1)a₁=p²-a₁，解得p=a₁或p=0(舍去)，
由條件可知(p-1)S₂=(p-1)(a₁+a₂)=p²-a₂，解得a₂=1，
再由(p-1)S₃=(p-1)(a₁+a₂+a₃)=p²-a₃，解得a₃=，
由a₃=可得=，故p=3=a₁，
所以2S_n=9-a_n，則2S_n+1=9-a_n+1，
以上兩式作差得2(S_n+1-S_n)=a_n-a_n+1，
即2a_n+1=a_n-a_n+1，故a_n+1=a_n，
可見，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，
故a_n=3()^n-1=3^2-n；
(2)因?yàn)閎_n=，
所以b_nb_n+2=，
T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2

，
故要使T_n＜m²-m+恒成立，只需，
解得m≤0或m≥1；
故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，0]∪[1，+∞)．