Question

（本小題滿分15分）已知, 是平面上一動(dòng)點(diǎn), 到直線上的射影為點(diǎn)，且滿足

(1) 求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2) 過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當(dāng)變化且滿足時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

解： (1)y²=4x,

 (2)直線AB經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn).

【解析】本試題主要是考查了軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415183811869976/SYS201208241519162597256263_DA.files/image001.png">, 是平面上一動(dòng)點(diǎn), 到直線上的射影為點(diǎn)，且滿足設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，借助于向量關(guān)系式得到其軌跡的方程;

(2) 根據(jù)過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當(dāng)變化且滿足時(shí)，

因此由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設(shè)AB的方程為,

并設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).聯(lián)立: 

借助于韋達(dá)定理，和直線斜率的關(guān)系，可以證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

解： (1)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),從而

,,

化簡(jiǎn)得y²=4x, 即為所求的P點(diǎn)的軌跡C的對(duì)應(yīng)的方程. ………………6分

 (2) 解法一：由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設(shè)AB的方程為,

并設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).聯(lián)立: 

代入整理得   從而有y₁＋y₂=4m ①, ②……………8分

又 ,

又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂, ∴ ………………11分

Þ ,

展開(kāi)即得y₁y₂+6(y₁+y₂)+20=0

將①②代入得,

得, AB: x =my+6m+5, ………………14分

故直線AB經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn).. ………………15分

解法二：設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

設(shè)MA: y=k₁(x-1),與y²=4x聯(lián)立，得k₁y²-4y-4k₁+8=0，則①，

同理②

AB:即③

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立

則 故直線AB經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn).. ………………15分